definicje

Twierdzenie Bézouta

Jeżeli liczba a jest pierwiastkiem wielomianu W(x), to (x − a) jest podzielnikiem tego wielomianu i na odwrót: jeżeli (x − a) jest podzielnikiem wielomianu W(x), to liczba a jest pierwiastkiem tego wielomianu

Twierdzenie o jednoznaczności pochodnej

Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie x0, to jest w tym punkcie ciągła.

Twierdzenie o pochodnej funkcji odwrotnej

Jeżeli f ma pochodną f’(x0) ≠ 0 i istnieje funkcja odwrotna f^-1 do funkcji f, to istnieje pochodna funkcji f^-1 w punkcie y0 = f(x0) i zachodzi następujący wzór:

Twierdzenie o pochodnej funkcji złożonej

Jeżeli funkcja 𝑔 jest różniczkowalna w punkcie 𝑥0 , a funkcja 𝑓 jest różniczkowalna w punkcie 𝑔(𝑥0 ), to funkcja 𝑓°𝑔 jest różniczkowalna w punkcie 𝑥0 i zachodzi wzór: (𝑓°𝑔)′(𝑥0 ) = 𝑓′(𝑔(𝑥0 )) ∙ 𝑔′(𝑥0 )

max/min lokalne funkcji

Funkcja 𝑓 określona i ciągła na przedziale 〈𝑎, 𝑏〉 ma w punkcie 𝑥0E(𝑎, 𝑏) maksimum (minimum) lokalne, jeżeli istnieje takie sąsiedztwo 𝑆(𝑥0 , 𝛿) punktu 𝑥0 , że:

Max/min globalne funkcji

Jeżeli funkcja f określona jest na przedziale 〈𝑎, 𝑏〉 to największe z maksimów (minimów) nazywamy maksimum (minimum) globalnym funkcji w przedziale 〈𝑎, 𝑏〉.

Twierdzenie o warunku koniecznym ekstremum lokalnym

Jeżeli funkcja f jest ciągła w punkcie 𝑥0 i ma w nim ekstremum lokalne, to: 1) istnieje 𝑓’(𝑥0 ) 𝑖 𝑓’(𝑥0 ) = 0 lub 2) funkcja nie ma pochodnej w 𝑥0.

Warunek wystarczający

1) funkcja 𝑓 jest ciągła w punkcie 𝑥0 , 2) różniczkowalna na pewnym sąsiedztwie 𝑆(𝑥0 ,𝛿)

Definicja wypukłości i wklęsłości funkcji

Mówimy, że wykres funkcji 𝑓 jest wypukły/ wklęsły w pewnym przedziale, jeżeli we wszystkich punktach tego przedziału leży poniżej/powyżej swych stycznych.

Warunek konieczny i wystarczający (wypukłość, wklęsłość)

Funkcja 𝑓 dwukrotnie różniczkowalna na przedziale 𝑋 ma wykres wypukły/wklęsły na 𝑋 wtedy i tylko wtedy, gdy: 2) f" nie równa się tożsamościowo zero na żadnym podprzedziale przedziału X

warunek konieczny (wypukłość i wklęsłość)

1) funkcja 𝑓 jest ciągła w punkcie 𝑥0 ∈ 𝑋, 2) dwukrotnie różniczkowalna na pewnym sąsiedztwie 𝑆(𝑥0, 𝛿) ⊂ 𝑋,

Definicja punktu przegięcia

Jeżeli funkcja 𝑓 jest ciągła na przedziale 𝑋 i dwukrotnie różniczkowalna na pewnym sąsiedztwie 𝑆(x0, 𝛿) ⊂ 𝑋, to punkt 𝑃0 (x0, 𝑓(x0)) nazywamy punktem przegięcia wykresu funkcji 𝑓 wtedy i tykko wtedy